simetria y traslacion

simetria

La simetría (del griego σύν "con" y μέτρον "medida") es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

En condiciones formales, un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada si el resultado de aplicar esa operación o transformación al objeto, el resultado es un objeto indistinguible en su aspecto del objeto original. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexionesy reflexiones que se deslizan. Además de simetrías geométricas existen simetrías abstractas relacionadas con operaciones abstractas como la permutación de partes de un objeto.

La simetría también se encuentra en organismos vivos.

Grupo de simetría de la esfera.

Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se dice que un objeto presenta:

• Simetría esférica si existe simetría bajo algún grupo de rotaciones, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3).
• Simetría cilíndrica o simetría axial si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2).
• Simetría reflectiva o simetría especular que se caracteriza por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO(1) o su representación equivalente . En dos dimensiones tiene un eje de simetría y en tres dimensiones tiene un plano. El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea, si se construye una perpendicular, cualquier punto que reposee en esta perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son idénticos. Otra manera de verlo es que si la forma se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo haciendo que sus bordes coincidan. Un círculo tendría infinitos ejes de simetría por la misma razón.
• Simetría traslacional se da cuando la transformación  deja invariable a un objeto bajo un grupo de traslaciones discretas o continuas. El grupo es discreto si la invariancia sólo se da para un número numerable de valores de a y continuo si la invariancia se presenta para un conjunto infinito no numerable de valores de a en caso contrario.

Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son:

• Simetría antitraslacional que implica una reflexión en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de ese mismo eje. El grupo de simetría es isomorfo a .
• Simetría de rotorreflexión o simetría de rotación impropia, implica rotación al rededor de un eje combinado con reflexión en un eje perpendicular al de rotación.
• Simetría helicoidal implica un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje. Puede ser de tres clases:
1. Simetría helicoidal infinita
2. Simetría helicoidal de n-ejes
3. Simetría helicoidal que no se repite

traslacion

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector , tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P' , tal que:

Definición de traslaciones 

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias

Más aún se cumple que:

Notas:

1. La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
2. La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.

rotaciones y reflexiones

Rotaciones

"Rotación" significa girar alrededor de un centro: La distancia del centro a cualquier punto de la figura es la misma. Cada punto sigue un círculo alrededor del centro.

Puedes girar objetos (punto a punto) con cualquier ángulo, alrededor de cualquier punto central. Prueba y mira lo que pasa.

Reflexiones

Hay reflexiones en todas partes... en espejos, cristales, y en este lago.  ... ¿ves lo que pasa?
¡Los puntos están a la misma distancia de la línea central!
... y ...
La reflexión tiene el mismo tamaño que la imagen original
La línea central se llama línea de reflexión ...
... y no importa en qué dirección vaya el reflejo, la imagen reflejada siempre tiene el mismo tamaño, pero en la otra dirección:
Una reflexión es un volteo con respecto a una línea

transformaciones geometricas

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. la nueva figura se llamará "homólogo" de la original.

las transformaciones se clasifican en:

• directa: el homólogo conserva el sentido del original en el plano cartesiano
• inversa: el sentido del homólogo y del original son contrarios

además, también se pueden clasificar de acuerdo con la forma del homólogo con respecto al original en:

• isométricas: el homólogo conserva las dimensiones y ángulos. También se llaman "movimientos", éstos son simetría axial y puntual, rotación y traslación.
• isomórficas: el homólogo conserva la forma y los ángulos. existe proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el original. una de ellas es la homotecia.
• anamórficas: cambia la forma de la figura original. Una de ellas es la inversión